Función Afín

Es un tipo de función que se caracteriza porque su gráfico siempre es una línea recta.  Se llama función afín la función de la forma  f(x) = mx + b mx + b, donde m y b son constantes reales y cuya representación gráfica es en una recta.

Representación gráfica de una función afín.

La orientación de la recta de una función afín varía dependiendo del valor de m, es decir, de la pendiente. Si m > 0, la pendiente es un número positivo y la función es creciente, es decir, su gráfico sube de izquierda a derecha. Si m < 0, la pendiente de un número negativo y la función es decreciente, es decir gráfica, baja de izquierda a derecha.   
  

Para representar gráficamente una función afín basta determinar dos puntos en el plano y trazar la recta que pasa por ellos. Toda función afín f(x) = mx + b, está representada por una recta que no es vertical, esto implica que las rectas de la forma x= a, con a constante, no representa una función afín, pues este caso m, no tiene valor a diferencia de una función afín de la forma y= a, donde el valor m es 0.

Puntos de corte con los ejes.

En las funciones afines es útil determinar el valor de y primero haciendo x= 0, así se puede obtener el punto donde el gráfico de la función corta el eje vertical. Esto ocurre con cualquier función. Para determinar donde corta el gráfico de la función al eje horizontal se analiza esto: un punto está en el eje horizontal si la distancia del punto al eje es cero, es decir, si la ordenada del punto es 0. Entonces, y=0 en la función y así despejar x para obtener la abscisa del punto desconocido.

Pendiente y ordenada en el origen.

Pendiente (m) da una recta:

La pendiente de una recta se puede asociar con la inclinación d dicha recta al eje horizontal en una función lineal definida como y= mx + b, el número constante se denomina pendiente de la función lineal o pendiente de la recta que representa.

Según el valor de m, la función y= mx + b es creciente, decreciente o constante:

• Función Creciente: A medida que aumenta el valor de la abscisa aumenta el valor de la ordenada.
• Función Decreciente: a medida que va aumentando el valor de la abscisa, disminuye el valor de la ordenada. 
• Función constante: Es una recta horizontal que corta el eje vertical y permanece constante. 

Ordenada (b) en el origen.

Una función lineal y=mx + b, el número constante b se denomina ordenada en el origen de la función. Pues si se hace x=0 se obtiene y= m ∙ 0 + b = b. Luego (0, b) es el punto del corte del eje Y con el gráfico de la función afín, es decir, b es la ordenada del punto del corte del eje vertical con la recta dada por la función afín.

Posición de la recta en el plano según sus pendientes.

Si dos rectas son paralelas entonces al cortar al eje horizontal se forma dos ángulos correspondientes, es decir, que tienen la misma inclinación con respecto al eje horizontal y en consecuencia tiene igual pendiente.

• Dos rectas dadas por su función afín son paralelas siempre y cuando tengan el mismo pendiente.
• Dos rectas son perpendiculares si y solo si el producto de las pendientes es igual a -1.

Ecuación general de la recta.

Esta es una de las formas de representar la ecuación de la recta. Para determinar una línea recta sólo es necesario conocer dos puntos (A y B) de un plano. Si conocemos esos dos puntos, todas las rectas del plano, sin excepción, quedan incluidas en la ecuación Ax + By + C = 0.

Construcción de la ecuación de la recta. 

La ecuación de la recta, bien sea en su forma principal o en su forma general, se puede construir, en cualquiera de estos casos: 

• Dada la pendiente  de la recta y la ordenada en el origen.
• Dados dos puntos de la recta.
• Dados un punto y las pendientes de la recta.
• Dados un punto y una recta paralela o perpendicular.

Fórmula para hallar la ecuación de la recta dado dos puntos.

Existe una fórmula que permite hallar la ecuación de la recta dado dos puntos, sin necesidad de calcular de antemano la pendiente: consideremos los puntos A(x¹, y¹) y B(x2, y²). La siguiente expresión representa a la recta que pasa por los puntos 

Fórmula que permite hallar la ecuación de una recta conocida su pendiente m y un punto de ella.

Sea A(x¹, y¹). La ecuación de la recta cuya pendiente es m que pasa A esta dada por la siguiente expresión: y – y¹= m∙(x – x¹).